pembagian istimewa (matematika)

PEMBAGIAN ISTIMEWA

Dari mesin pencari (search engine) yang masuk ke situs penulis, seseorang melontarkan satu pertanyaan berikut;

Buktikan bahwa; 

1²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰¹ + 3²⁰⁰¹ + 4²⁰⁰¹ + … + 2000²⁰⁰¹+ 2001²⁰⁰¹  adalah kelipatan 13.

Soal ini akan lebih mudah dipahami siswa dengan redaksi sbb:

Buktikan bahwa;  1²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰¹ + 3²⁰⁰¹ + 4²⁰⁰¹ + … + 2000²⁰⁰¹+ 2001²⁰⁰¹  habis dibagi 13.

Siapapun orangnya, berikut penulis sajikan jawabannya.

Dalam membuktikan soal tersebut, tak mungkin dan tak perlu kita lakukan perhitungan secara total dari jumlah bilangan berpangkat sebesar itu kemudian melakukan pembagian dengan 13.

Tentunya dengan sifat Keterbagian Bilangan persoalan di atas dapat dijawab. Salah satu sifat Keterbagian bilangan yaitu,  jika  a habis membagi b, dan b habis membagi c, maka a habis membagi c.  Selain dari sifat keterbagian tersebut ada satu keterbagian bentuk jumlah bilangan berpangkat ganjil sama habis dibagi jumlah bilangan pokoknya yang lazim disebut pembagian istimewa.

Salah satu dari sifat pembagian istimewa, yaitu

jumlah dua bilangan berpangkat sama ganjil, habis dibagi jumlah bilangan yang dipangkatkan.

Dalam penulisan matematika ditulis sbb:

1²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰¹ + 3²⁰⁰¹ + 4²⁰⁰¹ + … + 2000²⁰⁰¹+ 2001²⁰⁰¹ , selanjutnya kita pilah sepasang-sepasang bilangan itu sehingga menjadi;

(1²⁰⁰¹ + 2001²⁰⁰¹) +(2²⁰⁰¹ + 2000²⁰⁰¹) + (3²⁰⁰¹ + 1999²⁰⁰¹)+ ….+ (1000²⁰⁰¹ + 1002²⁰⁰¹)+ 1001²⁰⁰¹.

Dengan menggunakan sifat pembagian istimewa tersebut, diketahui bahwa;

(1²⁰⁰¹ + 2001²⁰⁰¹) habis dibagi (1 + 2001)= 2002, sedangkan 2002 = 13 x 154.

Jadi, 1²⁰⁰¹ + 2001²⁰⁰¹  habis dibagi 13.

Dengan cara yang sama,

(2²⁰⁰¹ + 2000²⁰⁰¹) habis dibagi (2 + 2002)= 2002, sedangkan 2002 = 13 x 154.

Jadi, 2²⁰⁰¹ + 2000²⁰⁰¹  habis dibagi 13.

Begitu pula sepasang-sepasang bilangan berikutnya yaitu; (3²⁰⁰¹ + 1999²⁰⁰¹), (4²⁰⁰¹ + 1998²⁰⁰¹) , (5²⁰⁰¹ + 1997²⁰⁰¹), …., dan (1000²⁰⁰¹ + 1002²⁰⁰¹) habis dibagi 13.

Perhatikan !

(1000²⁰⁰¹ + 1002²⁰⁰¹) habis dibagi (1000 + 1002)= 2002, sedangkan 2002 = 13 x 154.

Jadi, 1000²⁰⁰¹ + 1002²⁰⁰¹  habis dibagi 13.

Dengan menggunakan salah satu sifat keterbagian tersebut di atas,

satu bilangan terakhir yaitu, 1001²⁰⁰¹ habis juga dibagi 13, karena  1001 = 77 x 13.

Dengan demikian cukup langkah pembuktikan bahwa;

1²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰¹ + 3²⁰⁰¹ + 4²⁰⁰¹ + … + 2000²⁰⁰¹+ 2001²⁰⁰¹ merupakan kelipatan 13.

Kenapa bentuk bilangan seperti itu habis dibagi, dan bagaimana penurunan bentuk secara umum tersebut dapat diperoleh, simak uraian berikut!;

1.    Apa itu pembagian istimewa?

Pembagian istimewa dapat dipahami sebagai operasi pembagian dari jumlah atau selisih  dua bilangan berpangkat sama, dengan jumlah atau selisih bilangan yang dipangkatkan  yang menghasilkan sisa pembagian nol (habis dibagi).

Sebagai contoh dalam bentuk aljabar;

Kita pahami dari bentuk;   a⁵ – b⁵    , a dan b   disebut  bilangan pokok(bilangan yang dipangkatkan)  , dan 5 adalah pangkatnya.

Akan terjawab dan mudah dipahami jika kita lakukan pembagian secara konvensional .

Sebelumnya kita periksa apakah  a⁵ – b⁵  habis dibagi dengan (a – b) ? Simak uraian berikut;

Pada skema pembagian berikut: ruas kiri sebagai pembagi, ruas tengah  yang dibagi dan sisa sedangkan  ruas kanan sebagai hasil pembagian.

Tampak, bahwa  sisanya  a⁴b – b⁵ , dan sisa itu harus dibagi lagi dengan (a – b).

Tetapi karena  a⁴b – b⁵ = b ( a⁴ – b⁴) , maka  pembagian itu akan habis,   jika   a⁴ – b⁴ habis dibagi (a – b).

Selanjutnya bahwa, a⁴ – b⁴   akan habis dibagi dengan (a – b) , jika  (a³– b³)  habis dibagi  dengan  (a – b).

Selanjutnya bahwa, a³ – b³   akan habis dibagi dengan (a – b) , jika  (a²– b²)  habis dibagi  dengan  (a – b).

Tampak bahwa, (a²– b²)  habis dibagi  dengan  (a – b), karena sisanya b (a – b) habis dibagi (a – b).

Dengan demikian  a ⁵ – b⁵  habis dibagi (a – b), sehingga secara konvensional dapat kita bagi seperti berikut;

Atau  dapat ditulis;

Tampak bahwa, a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴  merupakan hasil pembagian, perhatikan polanya!!

• Pangkat dari bilangan-bilangan pokoknya; pangkat a menurun 1 dan pangkat b naik 1 secara berturutan;
• Semua suku-sukunya bertanda positif

Dari hasil pemeriksaan  pembagian diatas, diperoleh informasi bahwa;

a² – b²    habis dibagi  (a – b)

a³ – b³    habis dibagi  (a – b)

a⁴ – b⁴    habis dibagi  (a – b)

a⁵ – b⁵    habis dibagi  (a – b)

Dari pemeriksaan pembagian dengan (a – b) hingga pangkat 5 tersebut, kita dapat menyimpulkan secara umum bahwa;

Selisih dua bentuk aljabar berpangkat sama   habis dibagi   dengan selisih bilangan pokoknya.

Dalam notasi matematika ditulis;

Contoh 1.

Berapakah  (7⁴ – 4⁴) : (7 – 4) ?

Jawab:

Cara lain dengan pemfaktoran bentuk selisih dua kuadrat:

=11 x (49 + 16) = 11 x 65 = 715

Contoh 2.

Jawab:

Ingat bentuk pembagian selisih pangkat 4 dengan selisih bilangan pokoknya;

 Contoh 3.

Jawab:

Karena  bentuk x³ – y³  habis dibagi (x – y), maka  (x – y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;

x³ – y³ = (x – y) (x² +xy + y²)

2.        Bentuk –bentuk  Apa saja yang Habis Dibagi  (a + b) ?

Bentuk apa saja yang habis dibagi (a + b)  tanpa harus melakukan pemeriksaan?

Kita pahami bahwa; a + b = a – (-b) , sehingga dapat ditulis bahwa;

a² – (-b)²  atau  a² – b²

a³ – (-b)³  atau  a³ + b³

a⁴ – (-b)⁴  atau  a⁴ – b⁴

a⁵ – (-b)⁵  atau  a⁵ + b⁵

a⁶ – (-b)⁶  atau  a⁶ – b⁶

a⁷ – (-b)⁷  atau  a⁷ + b⁷

dst…

Perhatikan dari uraian  tersebut, dengan menggunakan sifat  (1) kita memperoleh dua simpulan secara umum;

Pertama :

Selisih dua suku bentuk aljabar berpangkat sama genap,  habis dibagi  (a + b).

Dalam notasi matematika ditulis;

Perhatikan bentuk hasil pembagian!!

• Suku-sukunya bertanda positif dan negatif.
• Suku-suku yang bertanda negatif yaitu suku yang memuat varibel b  yang berpangkat ganjil.

Contoh 4.

Jawab:

Kedua :

Jumlah  dua suku bentuk aljabar berpangkat sama ganjil habis dibagi  (a + b).

Dalam notasi matematika ditulis;

Perhatikan bentuk hasil pembagian!!

• Suku-sukunya bertanda positif dan negatif.
• Suku-suku yang bertanda negatif yaitu suku yang memuat varibel b  yang berpangkat ganjil.

Contoh 5.

Jawab:

Karena  bentuk x³ + y³  habis dibagi (x + y), maka  (x + y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;

x³ + y³ = (x + y) (x² –xy + y²)

 Contoh 6.

Jawab:

Karena  bentuk x⁵ + y⁵  habis dibagi (x + y), maka  (x + y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;

x⁵ + y⁵ = (x + y) (x⁴ –x³y + x² y² – xy³ + y⁴ )

 Contoh 7.

Jawab:

Menurut sifat (1) ,   bentuk x⁶ – y⁶  habis dibagi (x – y), maka  (x – y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;

x⁶ – y⁶ = (x – y) (x⁵ +x⁴y + x³ y² + x²y³ + xy⁴ + y⁵ ).

Menurut sifat (2) ,   bentuk x⁶ – y⁶  habis dibagi (x + y), maka  (x + y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;

x⁶ – y⁶ = (x + y) (x⁵ –x⁴y + x³ y² – x²y³ + xy⁴ – y⁵ ).

Bentuk  x⁶ – y⁶ = (x²)³ – (y²)³ , menurut sifat (1),  habis dibagi (x² – y² ), dan  hasil baginya ((x²)² +x² y² + (y²)²) , sehingga dapat ditulis;

x⁶ – y⁶    = (x² – y² ) ((x²)² +x² y² + (y²)² )

= (x² – y² ) ( x⁴ +x² y² + y⁴ )

= ( x + y )( x – y )(x⁴ +x² y² + y⁴ )

Bentuk  x⁶ – y⁶ = (x³)² – (y³)² , menurut sifat (1),  habis dibagi (x³ – y³ ), dan hasil baginya (x³+y³ ) , sehingga dapat ditulis;

x⁶ – y⁶    = (x³ – y³ ) ( x³ + y³ )

Menurut sifat (1),  x³ – y³  habis dibagi (x – y) , dan hasil baginya (x² +xy +y² ) ,sehingga  bentuk  x⁶ – y⁶ dapat difaktorkan lagi menjadi;

x⁶ – y⁶    = ( x – y )(x² +xy +y² ) ( x³ + y³ )

Selanjutnya menurut sifat (3),  x³ + y³  habis dibagi (x + y) , dan hasil baginya (x² –xy +y² ) ,sehingga  bentuk  x⁶ – y⁶ dapat difaktorkan lagi menjadi;

x⁶ – y⁶    = ( x – y )(x² +xy +y² ) (x + y) (x² –xy +y² )

Dari uraian tersebut di atas, sedikitnya terdapat 6 bentuk pemfaktoran dari  x⁶ – y⁶  selain bentuk itu sendiri.

 3.    Apakah bentuk  aⁿ + bⁿ  habis dibagi  (a – b) ?

Kita periksa apakah  a⁵ + b⁵ habis dibagi (a – b)

Selanjutnya bahwa  a⁵ + b⁵  habis dibagi  (a – b)  jika  a⁴ + b⁴  habis dibagi (a – b), dan seterusnya hingga akhirnya

(a + b ) harus habis dibagi (a – b)   dan itu  hal yang tak mungkin.

Jadi, bentuk  jumlah dua suku berpangkat sama  tidak habis dibagi  selisih bilangan pokoknya.

Simpulan:

Ada 3  bentuk  yang termasuk pembagian istimewa, yaitu :

Manfaat memahami pembagian istimewa selain kita dapat menyederhanakan  pembagian bentuk dua suku berpangkat sama dengan selisih atau jumlah bilangan pokoknya, kita juga dapat memfaktorkan  jumlah atau selisih  dua suku  bentuk berpangkat sama.

Share this post